everything I can 뒤에 동사가 생략된 건가요?

예문에서 “I will do everything I can in the remaining weeks to ensure that all of my work is properly turned over.”라는 문장이 나왔어요.
I will do everything 뒤에 관계대명사 that이 생략된 것 같고, 그다음에 I can만 나오는데 can 뒤에는 동사 원형이 와야 하지 않나요?
“everything I can do”처럼 do가 생략된 건지, 생략됐다면 어떤 문법 규칙 때문인지 궁금합니다^^