고양이 교배는 어떻게 준비하나요?

며칠 전 유기묘를 입양했는데, 집에 온 지 얼마 안 돼 발정이 난 것 같아요.
병원에서는 발정기가 지나야 중성화할 수 있다고 하더라고요.
교배를 하려면 상대 고양이는 어떻게 찾고, 비용이나 접종 기록은 어떻게 확인하나요?
발정이 시작된 상태라 늦은 건 아닌지도 궁금해요.